Las ecuaciones de Navier-Stokes están en boca de todos después de que OpenAI anunciara un resultado para uno de los mayores problemas relacionados con ellas. Pero, ¿por qué estas ecuaciones son tan importantes y difíciles de resolver?
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen fenómenos en fluidos en la Tierra y también en sistemas astronómicos, como estrellas, plasmas y discos de acreción. Crédito: Universidad de Princeton
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos, como líquidos y gases. Relacionan magnitudes como la velocidad, la presión, la densidad y la viscosidad con el momento lineal. Permiten modelar desde flujos sencillos hasta sistemas altamente complejos.
La dificultad matemática reside en un término llamado no linealidad, que provoca que la propia velocidad del fluido modifique su evolución. Esta no linealidad permite la transferencia de energía entre diferentes escalas y está directamente relacionada con la formación de turbulencia, que se describe mediante la formación de vórtices.
Esta cuestión dio origen al problema de existencia y suavidad de las ecuaciones de Navier-Stokes, incluido entre los siete Problemas del Premio del Milenio. El reto que resolvió OpenAI consistió en determinar si las soluciones suaves de ecuaciones tridimensionales desarrollan velocidades u otras magnitudes que divergen en un tiempo finito.
¿De dónde provienen las ecuaciones de Navier-Stokes?
Las ecuaciones de Navier-Stokes se derivan directamente de la segunda ley de Newton, aplicada a una partícula de fluido. La idea es simple: la aceleración de esta partícula debe estar determinada por la suma de las fuerzas que actúan sobre ella, como la presión, la viscosidad y las fuerzas externas.
Sin embargo, en lugar de rastrear una partícula, las ecuaciones describen el campo de velocidad en todo el fluido.
La aceleración tiene dos componentes principales: la aceleración local y la aceleración convectiva, causada por el movimiento de la partícula hacia una región donde la velocidad es diferente. Es este segundo componente el que introduce la no linealidad de las ecuaciones, provocando que el flujo mismo altere su evolución.
Término no lineal
Por lo tanto, esta no linealidad genera retroalimentación: las regiones más rápidas pueden modificar el campo de velocidad, lo que a su vez altera el transporte posterior. Pequeñas diferencias en el campo de velocidad pueden amplificarse por la dinámica, lo que dificulta considerablemente el análisis de la evolución del sistema.
Esta es una de las formas de las ecuaciones de Navier-Stokes, que se utiliza para describir el movimiento de un fluido incompresible y newtoniano.
Este comportamiento es importante en tres dimensiones, donde el flujo puede generar vórtices, alargarlos y transferir energía entre diferentes escalas. La energía introducida en estructuras grandes puede redistribuirse a escalas progresivamente más pequeñas.
Difusión
Otro término importante, que actúa de forma casi opuesta, es el término de difusión, que representa el efecto de la viscosidad. En un flujo, la viscosidad actúa reduciendo los gradientes de velocidad y tiende a suavizar las variaciones espaciales, disipando la energía cinética a escalas menores.
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Este término compite directamente con la no linealidad convectiva. Mientras que el término de advección concentra estructuras, generando gradientes más intensos y transfiriendo energía entre escalas, la viscosidad tiende a dispersar estas variaciones y disipar energía.
El papel de la presión
El término gradiente de presión representa la fuerza por unidad de volumen asociada a las diferencias de presión dentro del fluido. Una partícula de fluido tiende a acelerarse desde regiones de mayor presión hacia regiones de menor presión, lo que provoca que este término determine parte de la evolución del campo de velocidad.
Los vórtices son estructuras fundamentales que surgen en los flujos y desempeñan un papel importante en la formación y la evolución de la turbulencia. Crédito: NSF / NSO
La presión no es simplemente una variable independiente que evoluciona como la velocidad, sino que actúa como una especie de campo de restricción. En flujos turbulentos, pequeñas variaciones de presión pueden interactuar con el campo de velocidad e influir en la formación y evolución de los vórtices.
